נקודות קיצון ועלייה וירידה מבגרות 482 – f(x) = cos x + 0.5cos(2x)חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 19
בגרות 482 · קיץ 2020 מועד א׳ · שאלה 3 · סעיף א
שיעור 19 – נקודות קיצון ועלייה וירידה מבגרות 482 – f(x) = cos x + 0.5cos(2x)
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – הנגזרת
3סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0
4סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y
5סעיף א(2) – תחומי עלייה וירידה
6לבדיקה – הגרף
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = cos x + 12cos(2x) , המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 5π4 .
א. (1) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
(2) מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) ?
סעיף א – הנגזרת
גוזרים כל איבר בנפרד:
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
[cos(2x)]′ = −2sin(2x)
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
f′(x) = −sin x + 12 · (−2sin(2x))
f′(x) = −sin x − sin(2x)
✅ פתרון סופי: f′(x) = −sin x − sin(2x)
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
−sin x − sin(2x) = 0
📐 נקודת קיצון
יש במשוואה זווית x וזווית 2x . כדי לעבור לזווית אחת נפתח את sin(2x) :
−sin x − sin(2x) = 0
נציב sin(2x) = 2sin x · cos x :
📐 סינוס של זווית כפולה
−sin x − 2sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
−sin x − 2sin x · cos x = 0
בשני האיברים יש −sin x – מוציאים גורם משותף:
−sin x · (1 + 2cos x) = 0
לכן sin x = 0 או 1 + 2cos x = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
x = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π + 2πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 5π4 מתקבלים x = 0 ו־x = π (עבור k = 0 ).
אפשרות 2:
1 + 2cos x = 0
cos x = −12
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
cos x = −12
cos 2π3 = −12
📐 ערך מיוחד
x = 2π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −2π3 + 2πk
עבור k = 0 מקבלים x = 2π3 . במשפחה השנייה k = 1 נותן x = −2π3 + 2π = 4π3 – זה יותר מ־5π4 , ולכן מחוץ לתחום.
הנקודות החשודות בתחום:
📐 ערך מיוחד
cos 2π3 = −12
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א(1) – משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
הנקודות החשודות בתחום:
x = 0 , x = 2π3 , x = π
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 2π3 , x = π
סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום 0 ו־5π4 . נציב מספר מכל תחום בנגזרת המפורקת f′(x) = −sin x · (1 + 2cos x) :
ערכים שנשתמש בהם:
📐 ערכים מיוחדים
f′(π2) = −1 · (1 + 0) = −1 < 0
f′(5π6) = −12 · (1 − √3) ≈ 0.37 > 0
f′(7π6) = 12 · (1 − √3) ≈ −0.37 < 0
📐 ערכים מיוחדים
sin 5π6 = 12 , cos 5π6 = −√32
sin 7π6 = −12 , cos 7π6 = −√32
sin 7π6 = −12 , cos 7π6 = −√32
סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = cos x + 12cos(2x)
נציב x = 0 :
f(0) = cos 0 + 12cos(2 · 0)
f(0) = 1 + 12 · 1 = 32
סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
f(0) = 1 + 12 · 1 = 32
נציב x = 2π3 :
f(2π3) = cos 2π3 + 12cos(2 · 2π3)
cos 4π3 = −12
📐 ערך מיוחד
f(2π3) = −12 + 12 · (−12) = −34
נציב x = π :
📐 ערך מיוחד
cos 4π3 = −12
סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
נציב x = π :
f(π) = cos π + 12cos(2 · π)
f(π) = −1 + 12 · 1 = −12
נציב את קצה התחום x = 5π4 :
f(5π4) = cos 5π4 + 12cos(2 · 5π4)
cos 5π4 = −√22
📐 ערכים מיוחדים
📐 ערכים מיוחדים
cos 5π4 = −√22
cos 5π2 = cos π2 = 0
cos 5π2 = cos π2 = 0
סעיף א(1) – סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
cos 5π4 = −√22
📐 ערכים מיוחדים
f(5π4) = −√22 + 12 · 0 = −√22
בעזרת מחשבון: −√22 ≈ −0.71
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (0 , 32) , מינימום (2π3 , −34) , מקסימום (π , −12) , מינימום קצה (5π4 , −√22)
📐 ערכים מיוחדים
cos 5π4 = −√22
cos 5π2 = cos π2 = 0
cos 5π2 = cos π2 = 0
סעיף א(2) – תחומי עלייה וירידה
קוראים מהציר שבשלב 3:
עולה כאשר f′(x) > 0 : 2π3 < x < π
📐 עלייה וירידה
יורדת כאשר f′(x) < 0 :
0 < x < 2π3 , π < x < 5π4
✅ פתרון סופי: עולה: 2π3 < x < π ; יורדת: 0 < x < 2π3 , π < x < 5π4
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
לבדיקה – הגרף
כך נראה הגרף בתחום:
✅ פתרון סופי: הנקודות והתחומים מתאימים לגרף
📌 סיכום התשובות
סעיף א(1)
מקס. קצה (0 , 32) , מינ. (2π3 , −34) , מקס. (π , −12) , מינ. קצה (5π4 , −√22)
סעיף א(2)
עולה 2π3 < x < π ; יורדת 0 < x < 2π3 , π < x < 5π4
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא